Arbeidskrav 6.3Assignment 6.3Design og testing av forskningsbasert undervisningDesigning and testing research-based teaching
Utforskende matematikk på 2. trinnExploratory mathematics in Grade 2
MG1MA6 Matematikkdidaktikk
Universitetet i Sørøst-Norge, høst 2026MG1MA6 Mathematics Education
University of South-Eastern Norway, autumn 2026
Velkommen. I arbeidskrav 6.3 har jeg planlagt, gjennomført og analysert en utforskende matematikkaktivitet på 2. trinn. Tittelen beskriver bevegelsen i opplegget: fra klosser elevene kan ta på, til samtaler om hva som er rettferdig.
Presentasjonen følger oppgavens fire deler: forskningsgrunnlag, gjennomføring, funn og drøfting, og refleksjon.
Litteraturstudien om konkreter fra arbeidskrav 6.2 (Laski et al., 2015; Sarama & Clements, 2009; Bartolini & Martignone, 2020) og kritisk matematikkdidaktikk (Skovsmose, 2023; Kacerja et al., 2017).
Animasjonen veksler mellom de to fordelingene elevene diskuterte: 6–8–10 og 8–8–8. Begge er matematisk korrekte. Det spenningsfeltet er kjernen i forskningsspørsmålet.
Ingen ennå. La animasjonen gå mens du starter.
Welcome. In assignment 6.3 I planned, carried out and analysed an exploratory mathematics activity in Grade 2. The title describes the movement in the lesson: from blocks the pupils can touch, to conversations about what is fair.
The presentation follows the four parts of the assignment: research basis, implementation, findings and discussion, and reflection.
The literature review on manipulatives from assignment 6.2 (Laski et al., 2015; Sarama & Clements, 2009; Bartolini & Martignone, 2020) and critical mathematics education (Skovsmose, 2023; Kacerja et al., 2017).
The animation alternates between the two distributions the pupils discussed: 6–8–10 and 8–8–8. Both are mathematically correct. That tension is the core of the research question.
None yet. Let the animation run while you begin.
«Fordel gjerne disse klossene rettferdig dere imellom.»“Go ahead and share these blocks fairly between you.”
Instruksjonen elevene fikk. Hva som var rettferdig, ble ikke definert på forhånd.The instruction the pupils were given (translated from Norwegian). What counted as fair was not defined in advance.
Skal alle få like mye, eller skal de som har minst fra før, få mer?Should everyone get the same, or should those who have the least to begin with get more?
Dette var utgangspunktet: tre tårn med 2, 4 og 6 hvite klosser og en bunke med 12 røde. Instruksjonen var bevisst åpen. Jeg definerte ikke hva en rettferdig fordeling skulle innebære; elevene måtte undersøke situasjonen og bestemme selv.
Trykk → for å vise oppfølgingsspørsmålet.
Skovsmose (2023, s. 10): «Social justice is a contested concept». Rettferdighet har ikke én entydig definisjon, og derfor var det et poeng ikke å definere det for elevene.
Den åpne instruksjonen er det som gjør det mulig for elevene å utforske, begrunne og vurdere – de tre verbene i forskningsspørsmålet.
Før neste trinn: Hvordan ville dere fordelt de 12 røde klossene – og hvorfor?
This was the starting point: three towers with 2, 4 and 6 white blocks and a pile of 12 red ones. The instruction was deliberately open. I did not define what a fair distribution should mean; the pupils had to investigate the situation and decide for themselves.
Press → to show the follow-up question.
Skovsmose (2023, p. 10): “Social justice is a contested concept”. Fairness has no single definition, which is why I deliberately did not define it for the pupils.
The open instruction is what makes it possible for the pupils to explore, justify and evaluate – the three verbs in the research question.
Before the next step: How would you distribute the 12 red blocks – and why?
Konkreter kan støtte matematisk læring, men det avhenger av hvordan materialene brukes.Manipulatives can support mathematical learning, but it depends on how the materials are used.
Tilbakemeldingen på 6.2Feedback on 6.2
Vi ble utfordret til å tydeliggjøre sammenhengen mellom konkreter og utforskende eller kritisk matematikkundervisning.We were challenged to clarify the connection between manipulatives and exploratory or critical mathematics teaching.
Gjengitt fra arbeidskravet, ikke ordrett sitat.Paraphrased from the assignment, not a verbatim quote.
“Manipulatives can benefit learning, but only under certain conditions”
Det er ikke tilstrekkelig å gi elevene klosser. Det avgjørende er hvordan de inngår i en meningsfull matematisk aktivitet.Giving pupils blocks is not enough. What matters is how they become part of a meaningful mathematical activity.
“It cannot be assumed that concepts can be ‘read off’ manipulatives”
Elever kan flytte, telle og organisere konkreter uten nødvendigvis å forstå begrepene bak handlingene.Pupils can move, count and organise manipulatives without necessarily understanding the concepts behind their actions.
“to explore, acquire, or investigate mathematical concepts or processes”
Konkreter er ikke bare hjelpemidler for å utføre en oppgave, men redskaper for matematisk utforsking.Manipulatives are not just aids for completing a task, but tools for mathematical exploration.
I 6.2 fant vi at konkreter kan synliggjøre matematiske sammenhenger, men at læreren må være bevisst på hva materialene skal representere. Tre sitater oppsummerer funnene.
Tilbakemeldingen utfordret oss til å tydeliggjøre koblingen til utforskende og kritisk matematikk. Det er det designet i 6.3 forsøker å svare på – neste lysbilde viser hvordan.
Laski et al. (2015, s. 1), Sarama og Clements (2009, s. 146), Bartolini og Martignone (2020, s. 487).
Merk: Laski-sitatet er kontrollert mot originalartikkelen. Der står det midt i en setning som viser til en metaanalyse av 55 studier (Carbonneau, Marley & Selig, 2013). Nyttig å vite hvis noen spør hvor påstanden kommer fra.
Sarama og Clements begrunner hvorfor jeg ikke bare så etter om elevene fordelte riktig, men hvordan de brukte klossene til å sammenligne mengder, oppdage forskjeller og begrunne valg.
Har dere sett elever bruke konkreter uten at matematikken ble synlig for dem?
In 6.2 we found that manipulatives can make mathematical relationships visible, but that the teacher must be aware of what the materials are meant to represent. Three quotations sum up the findings.
The feedback challenged us to clarify the link to exploratory and critical mathematics. That is what the design in 6.3 tries to answer – the next slide shows how.
Laski et al. (2015, p. 1), Sarama and Clements (2009, p. 146), Bartolini and Martignone (2020, p. 487).
Note: The Laski quotation has been checked against the original article. There it appears mid-sentence, referring to a meta-analysis of 55 studies (Carbonneau, Marley & Selig, 2013). Useful if someone asks where the claim comes from.
Sarama and Clements explain why I did not only look at whether the pupils distributed correctly, but at how they used the blocks to compare quantities, notice differences and justify choices.
Have you seen pupils use manipulatives without the mathematics becoming visible to them?
Klikk deg gjennom kjeden. Hvert ledd er et designvalg med en forskningsbegrunnelse. Buen over kjeden er tilbakemeldingen på 6.2: koblingen mellom konkreter og utforskende eller kritisk matematikk er gjort til selve strukturen i opplegget.
Leddene: (1) to farger som synliggjør mengdene, (2) en åpen instruksjon, (3) oppfølgingsspørsmål som får elevene til å sette ord på matematikken, (4) en alternativ fordeling elevene må vurdere.
Sarama og Clements (2009, s. 146); Bartolini og Martignone (2020, s. 487); Laski et al. (2015, s. 1–2); Kacerja et al. (2017, s. 101); Skovsmose (2023, s. 10).
Kjeden speiler forskningsspørsmålet: konkreter og matematiske samtaler er midlene, mens å utforske, begrunne og vurdere er det elevene skal få anledning til.
Hvilket ledd er mest sårbart – hvor kan kjeden ryke? (Et svar: i samtalene. Lærerens spørsmål kan både åpne og lede, se lysbilde 14.)
Click through the chain. Each link is a design choice with a research rationale. The arc above the chain is the feedback on 6.2: the connection between manipulatives and exploratory or critical mathematics has become the structure of the lesson itself.
The links: (1) two colours that make the quantities visible, (2) an open instruction, (3) follow-up questions that get pupils to put the mathematics into words, (4) an alternative distribution the pupils have to evaluate.
Sarama and Clements (2009, p. 146); Bartolini and Martignone (2020, p. 487); Laski et al. (2015, pp. 1–2); Kacerja et al. (2017, p. 101); Skovsmose (2023, p. 10).
The chain mirrors the research question: manipulatives and mathematical conversations are the means, while exploring, justifying and evaluating are what the pupils should get the opportunity to do.
Which link is most fragile – where can the chain break? (One answer: in the conversations. The teacher's questions can both open up and steer, see slide 14.)
Hvordan kan bruk av konkreter og matematiske samtaler legge til rette for at elever på 2. trinn utforsker, begrunner og vurderer ulike fordelinger av mengder?How can the use of manipulatives and mathematical conversations enable Grade 2 pupils to explore, justify and evaluate different distributions of quantities?
konkreter og samtalermanipulatives and conversations
Elevene brukte klosser til å representere mengder, og forklarte og diskuterte hva klossene representerte og hvordan de kunne fordeles.The pupils used blocks to represent quantities, and explained and discussed what the blocks represented and how they could be distributed.
utforskerexplore
En oppgave uten forhåndsbestemt fremgangsmåte. Elevene prøvde ut fordelinger, sammenlignet resultater og korrigerte løsningen.A task with no predetermined method. The pupils tried out distributions, compared results and corrected their solution.
begrunner og vurdererjustify and evaluate
Elevene begrunnet hvorfor en fordeling var rettferdig eller urettferdig, med matematiske sammenhenger som grunnlag.The pupils justified why a distribution was fair or unfair, using mathematical relationships as their basis.
Kjerneelementer i Læreplan i matematikk (MAT01-05). Aktiviteten er også relevant for kompetansemålene etter 2. trinn, særlig å sammenligne mengder og bruke addisjon og subtraksjon i problemløsning (Utdanningsdirektoratet, 2020).Core elements of the Norwegian mathematics curriculum (MAT01-05). The activity is also relevant to the competence aims after Grade 2, especially comparing quantities and using addition and subtraction in problem solving (Utdanningsdirektoratet, 2020).
Les forskningsspørsmålet høyt. Pek på at det har to deler: midlene (konkreter og matematiske samtaler) og det elevene gjør (utforsker, begrunner, vurderer).
Hold musepekeren over et kjerneelement for å vise hvilken del av spørsmålet det svarer til.
Utdanningsdirektoratet (2020): kjerneelementene representasjon og kommunikasjon, utforsking og problemløsing, og resonnering og argumentasjon.
Dette er forskningsspørsmålet. Resten av presentasjonen vender tilbake til de tre verbene.
Hvilket av verbene – utforske, begrunne, vurdere – er vanskeligst å legge til rette for på 2. trinn?
Read the research question aloud. Point out that it has two parts: the means (manipulatives and mathematical conversations) and what the pupils do (explore, justify, evaluate).
Hover over a core element to show which part of the question it corresponds to.
Utdanningsdirektoratet (2020): the core elements representation and communication, exploration and problem solving, and reasoning and argumentation.
This is the research question. The rest of the presentation returns to the three verbs.
Which of the verbs – explore, justify, evaluate – is hardest to facilitate in Grade 2?
19 elever på 2. trinn i seks grupper: fem grupper med tre elever og én med fire. I firergruppen samarbeidet to elever om ett tårn.19 Grade 2 pupils in six groups: five groups of three and one of four. In the group of four, two pupils shared one tower.
Hver gruppe: tre tårn med 2, 4 og 6 hvite klosser og 12 røde klosser, til sammen 24.Each group: three towers with 2, 4 and 6 white blocks and 12 red blocks, 24 in total.
«Fordel gjerne disse klossene rettferdig dere imellom.»“Go ahead and share these blocks fairly between you.” (translated)
Uten forhåndsbestemt fremgangsmåte.With no predetermined method.
Hvor mange klosser hadde dere fra før, hvor mange fikk dere, og hvorfor er fordelingen rettferdig?How many blocks did you have to begin with, how many did you get, and why is the distribution fair?
Jeg samlet inn de røde klossene og la fram en fordeling der alle tårnene fikk fire nye.I collected the red blocks and presented a distribution in which every tower got four new ones.
Kan også denne løsningen være rettferdig?Could this solution also be fair?
Elevene hadde arbeidet med begrepet rettferdighet i forkant. Tallene ble valgt for telling og enkel addisjon og subtraksjon.The pupils had worked with the concept of fairness beforehand. The numbers were chosen for counting and simple addition and subtraction.
19 elever, seks grupper – fem med tre elever og én med fire, der to elever samarbeidet om ett tårn. Alle gruppene hadde det samme materialet: 2, 4 og 6 hvite klosser og 12 røde.
Forløpet hadde fem faser. Fase 3 og 5 er der elevene skulle begrunne og vurdere. Arbeidskrav 6.2 var et gruppearbeid; selve økten i 6.3 gjennomførte jeg alene.
Små grupper ga elevene anledning til å samarbeide og diskutere egne løsninger. Små tall gjorde at elevene kunne arbeide med telling og enkel addisjon og subtraksjon (LK20, Utdanningsdirektoratet, 2020).
At elevene hadde arbeidet med rettferdighet i forkant, ga dem et utgangspunkt for diskusjonen – men er også en metodisk begrensning (lysbilde 15).
Hva tror dere skjer når fire elever deler tre tårn?
19 pupils, six groups – five of three and one of four, in which two pupils shared one tower. All groups had the same materials: 2, 4 and 6 white blocks and 12 red ones.
The lesson had five phases. Phases 3 and 5 are where the pupils were to justify and evaluate. Assignment 6.2 was group work; I taught the 6.3 lesson on my own.
Small groups gave the pupils the chance to collaborate and discuss their own solutions. Small numbers meant the pupils could work with counting and simple addition and subtraction (LK20, Utdanningsdirektoratet, 2020).
The pupils' earlier work on fairness gave them a starting point for the discussion – but it is also a methodological limitation (slide 15).
What do you think happens when four pupils share three towers?
Fordel de 12 røde klossene på en måte du mener er rettferdig. Dra klossene, eller bruk + og −.Distribute the 12 red blocks in a way you think is fair. Drag them, or use + and −.
Tårn ATower A
hvitewhite2rødered0totalttotal2
Tårn BTower B
hvitewhite4rødered0totalttotal4
Tårn CTower C
hvitewhite6rødered0totalttotal6
Dra en rød kloss hit for å legge den tilbake.Drag a red block here to put it back.
Nå kan dere prøve den samme oppgaven som elevene. Dra de røde klossene til tårnene, eller bruk pluss og minus. Totalen er alltid 24: ingen klosser kan forsvinne eller oppstå.
Regnestykkene under tårnene viser det samme som klossene, symbolsk. Det kobler til forbedringsforslaget mitt om overgang til symbolske representasjoner (lysbilde 16).
Tips: Etter et museklikk kan du fortsatt bruke piltastene og mellomrom til å bla videre.
Bartolini og Martignone (2020, s. 487): konkreter brukes «to explore, acquire, or investigate mathematical concepts or processes».
Laski et al. (2015, s. 3–4): gradvis overgang fra konkrete til mer abstrakte representasjoner.
Simuleringen gjør at publikum møter den samme åpne oppgaven: hva blir rettferdig, og hvordan begrunner man det med matematikk?
Be en frivillig fordele klossene. Still de samme spørsmålene som i økta: Hvor mange hadde tårnet fra før? Hvor mange fikk det? Hvorfor er dette rettferdig?
Now you can try the same task as the pupils. Drag the red blocks to the towers, or use plus and minus. The total is always 24: no blocks can disappear or appear.
The number sentences under the towers show the same as the blocks, symbolically. This links to my improvement suggestion about moving towards symbolic representations (slide 16).
Tip: After a mouse click you can still use the arrow keys and space to move on.
Bartolini and Martignone (2020, p. 487): manipulatives are used “to explore, acquire, or investigate mathematical concepts or processes”.
Laski et al. (2015, pp. 3–4): a gradual transition from concrete to more abstract representations.
The simulation lets the audience meet the same open task: what counts as fair, and how do you justify it mathematically?
Ask a volunteer to distribute the blocks. Ask the same questions as in the lesson: How many did the tower have to begin with? How many did it get? Why is this fair?
Fra modell 1 til modell 2 flyttes bare to røde klosser: fra tårn C til tårn A. Begge fordelingene er matematisk korrekte.Going from model 1 to model 2 moves only two red blocks: from tower C to tower A. Both distributions are mathematically correct.
«Hvilken fordeling er mest rettferdig – og hvorfor?»“Which distribution is the fairest – and why?”
Her er de to prinsippene side om side. Modell 1: alle får like mye ekstra, og tårnene blir 6, 8 og 10. Modell 2: alle ender med like mye, 8, 8 og 8. Bruk bryteren (eller tastene 1 og 2) og se at overgangen bare er to klosser som flyttes fra C til A.
Trykk → for å vise spørsmålet. Ikke gi et fasitsvar.
Skovsmose (2023, s. 10): «Social justice is a contested concept». Skovsmose (2023, s. 11): elevene skal få identifisere og formulere hva de opplever som rettferdig og urettferdig.
Fra økta (9.2 og 9.3): flere grupper forsøkte å få tårnene like høye. Da jeg la fram modell 1, reagerte elevene på at den ville gi forskjellige sluttmengder, og brukte forskjellene mellom tårnene som argument.
Hvilken fordeling er mest rettferdig – og hvorfor? Be noen argumentere for modell 1 og noen for modell 2. Når kan ulike behov gjøre en annen fordeling rimelig?
Here are the two principles side by side. Model 1: everyone gets the same extra, and the towers become 6, 8 and 10. Model 2: everyone ends up with the same, 8, 8 and 8. Use the switch (or keys 1 and 2) and notice that the change is just two blocks moving from C to A.
Press → to show the question. Do not give a model answer.
Skovsmose (2023, p. 10): “Social justice is a contested concept”. Skovsmose (2023, p. 11): pupils should get to identify and articulate what they find just and unjust.
From the lesson (9.2 and 9.3): several groups tried to make the towers equally tall. When I presented model 1, the pupils objected that it would give different final amounts, and used the differences between the towers as an argument.
Which distribution is the fairest – and why? Ask some to argue for model 1 and some for model 2. When could different needs make another distribution reasonable?
1
Korte notater mens elevene arbeidet.Brief notes while the pupils worked.
2
Stikkordene ble utfylt til notater rett etter økta.The jottings were written up into notes right after the lesson.
3
Ikke alle elevhandlinger og utsagn ble notert.Not every pupil action and utterance was noted.
4
Situasjonene ble analysert med tre fokus.The situations were analysed with three foci.
Kvalitative observasjoner: grunnlag for å undersøke handlinger og resonnering, ikke for å måle læringseffekt. Notatene er selektive, og det som ble utfylt etter økta, bygger på hukommelsen min.Qualitative observations: a basis for examining actions and reasoning, not for measuring learning effects. The notes are selective, and what was written up after the lesson relies on my memory.
Jeg gjennomførte økta alene og noterte stikkord underveis mens elevene arbeidet. Rett etter økta fylte jeg ut stikkordene til observasjonsnotater. Jeg analyserte utvalgte situasjoner med tre fokus: bruk av konkreter, matematiske begrunnelser og deltakelse.
Fra nå av skiller jeg tydelig mellom det jeg noterte (heltrukket) og mine tolkninger (stiplet).
Arbeidskravet bruker ikke egen metodelitteratur. Begrensningene gjelder notatene som datagrunnlag: de er selektive, og det som ble utfylt etterpå, bygger på hukommelsen.
De tre analysefokusene svarer direkte til forskningsspørsmålet: konkreter, matematiske samtaler og begrunnelser, og deltakelse.
Hva mister man når man er lærer og observatør samtidig – og hva vinner man?
I taught the lesson on my own and jotted down brief notes while the pupils worked. Right after the lesson I wrote the jottings up into observation notes. I analysed selected situations with three foci: use of manipulatives, mathematical justifications and participation.
From here on I clearly separate what I noted (solid line) from my interpretations (dashed line).
The assignment does not draw on separate methods literature. The limitations concern the notes as data: they are selective, and what was written up afterwards relies on memory.
The three analytical foci correspond directly to the research question: manipulatives, mathematical conversations and justifications, and participation.
What do you lose when you are teacher and observer at the same time – and what do you gain?
Linjen viser rekkefølgen av observasjonene gjennom økta, uten klokkeslett. Klikk på en markør eller fane. Hvert funn har to deler: det jeg noterte, og min tolkning.
1: Elevene oppdaget ulikhetene og korrigerte. 2: Rettferdighet ble knyttet til likt sluttresultat. 3: Elevene vurderte et alternativt prinsipp. 4: Ulike samarbeidsformer.
Sarama og Clements (2009, s. 146): handling med konkreter er ikke det samme som forståelse. Derfor er tolkningene formulert forsiktig («kan tyde på»).
Funn 1–3 handler om å utforske, begrunne og vurdere. Funn 4 handler om deltakelse – hvem som faktisk fikk gjøre det.
I funn 2: Hva er observasjon, og hva er tolkning? Er dere enige i tolkningen?
The line shows the order of the observations through the lesson, without clock times. Click a marker or a tab. Each finding has two parts: what I noted, and my interpretation.
1: The pupils noticed the inequalities and corrected. 2: Fairness was linked to an equal end result. 3: The pupils evaluated an alternative principle. 4: Different forms of collaboration.
Sarama and Clements (2009, p. 146): acting on manipulatives is not the same as understanding. That is why the interpretations are cautiously worded (“may suggest”).
Findings 1–3 concern exploring, justifying and evaluating. Finding 4 concerns participation – who actually got to do so.
In finding 2: What is observation, and what is interpretation? Do you agree with the interpretation?
Den samme oppgaven førte til ulike former for samarbeid.The same task led to different forms of collaboration.
Figuren illustrerer samarbeidsformen. Den viser ikke registrerte data.The figure illustrates the form of collaboration. It does not show recorded data.
Mønstre på tvers av de seks gruppene, ikke en klassifisering av hver gruppe.Patterns across the six groups, not a classification of each group.
Samme oppgave, ulike samtaler. I flere grupper tok én elev raskt ledelsen. Én gruppe diskuterte og forhandlet seg fram. I én gruppe oppsto det konflikt: en elev hadde tatt sju røde klosser og ville ikke dele dem.
Figuren er en illustrasjon av mønstrene, ikke en måling. Notatene fanger ikke opp alle samtaler i alle grupper.
Skovsmose og Borba (2004, s. 207): klasserommet som «a democratic forum, where ideas are presented and negotiated».
Deltakelse i samtalen var ett av analysefokusene. Mulighetene til å utforske, begrunne og vurdere var ikke likt fordelt mellom elevene.
Er det tilstrekkelig at en gruppe kommer fram til en matematisk løsning dersom ikke alle elevene har deltatt aktivt i resonneringen?
Same task, different conversations. In several groups one pupil quickly took the lead. One group discussed and negotiated its way forward. In one group a conflict arose: a pupil had taken seven red blocks and would not share them.
The figure illustrates the patterns; it is not a measurement. The notes do not capture every conversation in every group.
Skovsmose and Borba (2004, p. 207): the classroom as “a democratic forum, where ideas are presented and negotiated”.
Participation in the conversation was one of the analytical foci. The opportunities to explore, justify and evaluate were not equally distributed among the pupils.
Is it enough for a group to reach a mathematical solution if not all the pupils have taken an active part in the reasoning?
12 røde klosser delt likt på tre tårn. Matematisk riktig12 red blocks shared equally among three towers. Mathematically correct
Konsekvensen: forskjellen mellom tårn A og C var 4 før fordelingen – og er fortsatt 4 etterpå.The consequence: the difference between towers A and C was 4 before the distribution – and is still 4 afterwards.
Den andre fordelingen. Også matematisk riktig
Tårnene blir 8, 8 og 8 – men tårn A får tre ganger så mange nye klosser som tårn C.The other distribution. Also mathematically correct
The towers become 8, 8 and 8 – but tower A gets three times as many new blocks as tower C.
“Social justice is a contested concept”Skovsmose (2023, s. 10)Skovsmose (2023, p. 10)
Begge alternativene kan gjennomføres matematisk korrekt, men de bygger på forskjellige forståelser av rettferdighet.Both alternatives can be carried out mathematically correctly, but they rest on different understandings of fairness.
Gå gjennom trinnvis med →. (1) Lik deling er matematisk riktig. (2) Konsekvensen: ulikheten består – forskjellen mellom A og C er 4 både før og etter. (3) Den andre fordelingen er også riktig og fjerner forskjellen, men A får tre ganger så mye som C. (4) Spørsmålet: Kan en matematisk riktig løsning være urettferdig?
Poenget er ikke å gi svaret, men å vise at matematikken beregner konsekvensene, mens valget av prinsipp er et spørsmål om rettferdighet.
Skovsmose (2023, s. 10): «Social justice is a contested concept». Kacerja et al. (2017, s. 101): kritisk tenkning ved hjelp av matematikk som et hovedanliggende i kritisk matematikkdidaktikk.
Dette er «vurderer» i forskningsspørsmålet: elevene brukte beregningen til å vurdere konsekvensene av et fordelingsprinsipp (funn 3).
Kan en matematisk riktig løsning være urettferdig? Hvem bør få bestemme hvilket prinsipp som gjelder?
Step through with →. (1) Equal sharing is mathematically correct. (2) The consequence: the inequality persists – the difference between A and C is 4 both before and after. (3) The other distribution is also correct and removes the difference, but A gets three times as much as C. (4) The question: Can a mathematically correct solution be unfair?
The point is not to give the answer, but to show that mathematics calculates the consequences, while choosing the principle is a question of fairness.
Skovsmose (2023, p. 10): “Social justice is a contested concept”. Kacerja et al. (2017, p. 101): developing critical thinking with the help of mathematics as a main concern of critical mathematics education.
This is “evaluate” in the research question: the pupils used the calculation to evaluate the consequences of a distribution principle (finding 3).
Can a mathematically correct solution be unfair? Who should get to decide which principle applies?
Kacerja et al. (2017, s. 101)Kacerja et al. (2017, p. 101)
“Development of students’ critical thinking with the help of mathematics is one of the main concerns in critical mathematics education”
Elevene brukte forskjellene mellom tårnene som argument for og mot fordelinger.The pupils used the differences between the towers as arguments for and against distributions.
Skovsmose (2023, s. 11)Skovsmose (2023, p. 11)
“to engage students in identifying and articulating what they find to be just or unjust”
Rettferdig ble ikke definert på forhånd. Elevene måtte begrunne hvorfor én fordeling var mer rettferdig enn en annen.Fairness was not defined in advance. The pupils had to justify why one distribution was fairer than another.
Skovsmose og Borba (2004, s. 207)Skovsmose and Borba (2004, p. 207)
“a democratic forum, where ideas are presented and negotiated”
Deltakelsen var ikke likeverdig. Ofte var det én elev som tok styringen.Participation was not equal. Often one pupil took charge.
Rettferdighet handler ikke bare om hvordan klossene fordeles, men også om elevenes mulighet til å delta, argumentere og påvirke beslutningen.Fairness is not only about how the blocks are distributed, but also about the pupils’ opportunity to participate, argue and influence the decision.
Tre perspektiver, tre koblinger til økta. Kacerja et al.: matematikk som redskap for kritisk tenkning – elevene brukte forskjellene mellom tårnene som argument. Skovsmose: elevene skal selv identifisere og formulere hva som er rettferdig – derfor definerte jeg det ikke. Skovsmose og Borba: klasserommet som demokratisk forum – her ble det tydelig at deltakelsen ikke var likeverdig.
Trykk → for å vise forbeholdet.
Kacerja et al. (2017, s. 101); Skovsmose (2023, s. 10–11); Skovsmose og Borba (2004, s. 207).
Svarer på «vurderer»-delen, men med et viktig forbehold: flere elever argumenterte for likt sluttresultat, og jeg vet ikke om de utviklet denne forståelsen i økta eller brukte en forståelse fra tidligere undervisning.
Hvem fordeler ordet i en gruppe på 2. trinn – og hva betyr det for hvem som får resonnere matematisk?
Three perspectives, three links to the lesson. Kacerja et al.: mathematics as a tool for critical thinking – the pupils used the differences between the towers as arguments. Skovsmose: pupils should identify and articulate for themselves what is fair – which is why I did not define it. Skovsmose and Borba: the classroom as a democratic forum – here it became clear that participation was not equal.
Press → to show the caveat.
Kacerja et al. (2017, p. 101); Skovsmose (2023, pp. 10–11); Skovsmose and Borba (2004, p. 207).
Addresses the “evaluate” part, but with an important caveat: several pupils argued for an equal end result, and I do not know whether they developed this understanding in the lesson or drew on an understanding from earlier teaching.
Who decides who gets to speak in a Grade 2 group – and what does that mean for who gets to reason mathematically?
Utsagn, notert ordrettRemark, noted verbatim
«Det må dere bestemme. Jeg skal ikke blande meg inn.»“That’s for you to decide. I’m not going to interfere.” (translated)
ObservertObservedSpørsmålQuestion
Jeg åpnet for at begge fordelingsmåtene kunne være rettferdige, og spurte hvilken løsning elevene foretrakk.I opened up for both ways of distributing being fair, and asked which solution the pupils preferred.
ObservertObservedFlere stederSeveral times
Jeg spurte om like høye tårn var rettferdig, og formulerte noen ganger selv sammenhengen mellom likt sluttresultat og rettferdighet.I asked whether equally tall towers were fair, and sometimes formulated the link between an equal end result and fairness myself.
Tolkning: kan ha ledet eleveneInterpretation: may have steered the pupilsUtforskende undervisning innebærer ikke at læreren skal være passiv, men at støtten bør gis på en måte som lar elevene utvikle og begrunne egne ideer.Exploratory teaching does not mean the teacher should be passive, but that support should be given in a way that lets the pupils develop and justify their own ideas.
Tre ting fungerte: den åpne oppgaven, de to fargene og oppfølgingsspørsmålet om fire klosser til alle.
Men gjennomgangen av notatene viste at mine egne spørsmål påvirket samtalene. Én gang holdt jeg meg bevisst utenfor, og en annen gang åpnet jeg for begge fordelingene. Andre steder spurte jeg om like høye tårn var rettferdig, og formulerte noen ganger sammenhengen selv. Det kan ha ledet elevene.
Laski et al. (2015, s. 1–2): læreren må være bevisst på hvordan konkretene inngår i undervisningen, og elevene trenger tid til å utvikle forbindelser mellom materialet og begrepene.
«Matematiske samtaler» i forskningsspørsmålet er ikke nøytrale: lærerens spørsmål er det leddet i kjeden (lysbilde 4) som både bar og begrenset utforskingen.
Hvordan stiller man oppfølgingsspørsmål som støtter resonneringen uten å lede mot ett svar?
Three things worked: the open task, the two colours and the follow-up question about four blocks for everyone.
But going through my notes showed that my own questions influenced the conversations. Once I deliberately stayed out, and another time I opened up for both distributions. Elsewhere I asked whether equally tall towers were fair, and sometimes formulated the link myself. That may have steered the pupils.
Laski et al. (2015, pp. 1–2): the teacher must be aware of how manipulatives are used in teaching, and pupils need time to build connections between the materials and the concepts.
The “mathematical conversations” in the research question are not neutral: the teacher's questions are the link in the chain (slide 4) that both carried and constrained the exploration.
How do you ask follow-up questions that support reasoning without steering towards one answer?
Det er viktig å skille mellom det jeg kan dokumentere og det jeg ikke kan konkludere med. Notatene viser at elevene brukte klossene aktivt og begrunnet fordelinger matematisk. Men jeg kan ikke si at klossene i seg selv ga økt forståelse, at rettferdighetsforståelsen oppsto i økta, eller at det skjedde varig læring.
Trykk → to ganger for å vise høyre kolonne og de metodiske begrensningene.
Sarama og Clements (2009, s. 146): begreper kan ikke «leses av» konkretene. Det er grunnen til forbeholdet om forståelse.
Forskningsspørsmålet spør hvordan konkreter og samtaler kan legge til rette for utforsking – ikke om de gir læringseffekt. Datagrunnlaget passer til det første, ikke til det andre.
Hvordan kunne jeg designet en undersøkelse som sier noe om varig læring?
It is important to separate what I can document from what I cannot conclude. The notes show that the pupils used the blocks actively and justified distributions mathematically. But I cannot say that the blocks in themselves increased understanding, that the understanding of fairness arose in the lesson, or that lasting learning took place.
Press → twice to show the right-hand column and the methodological limitations.
Sarama and Clements (2009, p. 146): concepts cannot be “read off” manipulatives. That is the reason for the caveat about understanding.
The research question asks how manipulatives and conversations can enable exploration – not whether they produce a learning effect. The data fit the former, not the latter.
How could I design a study that says something about lasting learning?
En kort individuell tenkefase før gruppesamtalen kan gi flere elever anledning til å formulere egne matematiske ideer.A short individual thinking phase before the group conversation can give more pupils the chance to formulate their own mathematical ideas.
Konflikten kunne vært utgangspunkt for en samtale om hvordan gruppen kommer fram til en felles beslutning – med støtte så alle kan delta trygt.The conflict could have been the starting point for a conversation about how the group reaches a shared decision – with support so everyone can take part safely.
Starte med:Start with:
«Hvordan tenkte dere?»
«Kan dere finne en annen løsning?»“How did you think about it?”
“Can you find another solution?”
Og utfordre rettferdighetsbegrepet: Er det alltid rettferdig at alle ender med like mye, eller kan ulike behov gjøre en annen fordeling rimelig?And challenge the concept of fairness: Is it always fair that everyone ends up with the same, or can different needs make another distribution reasonable?
Jf. Skovsmose (2023, s. 10–11)Cf. Skovsmose (2023, pp. 10–11)Forskningsbasert matematikkundervisning handler ikke bare om å velge gode konkreter eller oppgaver, men om hvordan læreren legger til rette for at elevene får utforske, delta, argumentere og utvikle egne matematiske ideer.Research-based mathematics teaching is not only about choosing good manipulatives or tasks, but about how the teacher enables the pupils to explore, participate, argue and develop their own mathematical ideas.
Fire forbedringer: (1) en individuell tenkefase før gruppesamtalen, (2) åpnere spørsmål og et mer utfordret rettferdighetsbegrep, (3) en tydeligere overgang fra klosser via tegning til regnestykker – klikk deg gjennom de tre representasjonene, (4) bruke konflikten som utgangspunkt for en samtale om felles beslutninger.
Avslutt med den viktigste erfaringen.
Laski et al. (2015, s. 3–4): gradvis overgang fra konkrete til mer abstrakte representasjoner. Skovsmose (2023, s. 10–11): elevene bør få undersøke og utfordre ulike forståelser av rettferdighet.
Forbedringene retter seg mot de svake leddene: likeverdig deltakelse (hvem som får utforske og begrunne) og lærerens spørsmål (hvordan samtalene ledes).
Hva ville dere endret hvis dere skulle gjennomføre aktiviteten neste uke?
Four improvements: (1) an individual thinking phase before the group conversation, (2) more open questions and a more challenged concept of fairness, (3) a clearer transition from blocks via drawings to number sentences – click through the three representations, (4) using the conflict as a starting point for a conversation about shared decisions.
Finish with the key lesson.
Laski et al. (2015, pp. 3–4): a gradual transition from concrete to more abstract representations. Skovsmose (2023, pp. 10–11): pupils should get to examine and challenge different understandings of fairness.
The improvements target the weak links: equal participation (who gets to explore and justify) and the teacher's questions (how the conversations are steered).
What would you change if you were to run this activity next week?
Alle sitater er hentet fra kildene i arbeidskravets referanseliste. Takk for oppmerksomheten – jeg tar gjerne spørsmål.
Hvis noen spør om Laski-sitatet: i originalen (s. 1) viser setningen til en metaanalyse av Carbonneau, Marley og Selig (2013).
Bruk progresjonsklossene nederst til venstre for å hoppe tilbake til et lysbilde under spørsmålsrunden.
Hvilke spørsmål har dere?
All quotations are taken from the sources in the assignment's reference list. Thank you for listening – I am happy to take questions.
If someone asks about the Laski quotation: in the original (p. 1) the sentence refers to a meta-analysis by Carbonneau, Marley and Selig (2013).
Use the progress blocks at the bottom left to jump back to a slide during questions.
What questions do you have?